[이산수학] 멱집합, 순서가 있는 n쌍, 데카르트 곱

집합은 근본적으로 원소들의 순서가 중요하지 않습니다.  {a, b, c} 가 순서가 바뀌어도 별 상관이 없습니다. 또한 집합에서 모든 원소는 서로 다르다라는 것이 중요합니다. 집합 내 원소들이 중복이 발생하면 그 중복은 의미가 없습니다. 

 

원소 a와 원소 b가 같다면 {a, b, c} = {a, c} = { b, c } = { a, a, b, a, b, c, c, c, c } 전부 다 같습니다. 모든 원소는 같은 하나의 원소로 생각하기 때문입니다. 

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N = 자연수의 집합

Z = 정수의 집합

Z+ = 양의 정수의 집합

R = 실수의 집합

R+ = 양의 실수의 집합

C = 복소수의 집합

Q = 유리수의 집합 

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실수에서 구간, 즉 범위를 나타내는 표기법이 있습니다. 

-[a, b] = {x | a <= x <= b}

-[a, b) = {x | a <= x < b};

-(a, b] = {x | a < x <= b};

-(a, b) = {x | a < x < b}

일반적으로 대괄호로 표현된 구간은 닫힌 구간으로 명칭을 하고 소괄호로 하면 열린 구간이라고 명칭을 합니다. 

 

두 집합이 정확하게 같은 원소를 갖고 있다면, 두 집합은 같습니다. 즉 A와 b가 집합이라면 ∀x (x A <--> X B) 일 때 두 집합은 같다고 합니다. 

 

The Set {1, 2, 3, 4} = {x | x is an integer where x > 0 and x < t } ={x | x is a positive integer whose squrare is >0 and <25 }

 

 

멱집합

멱집합은 집합 x의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합을 의미합니다.

만약 집합이 {1, 2} 라면 집합은 { { 공집합 } {1} {2} {1,2}  }이렇게 됩니다. 

 

멱집합의 |x| 기수는 n일 때 p(x)| = 2^n 입니다. 

 

순서가 있는 n짝 

어떤 개체의 모음에서 원소의 순서가 중요한 경우가 있습니다. 원소의 순서를 고려한 개념이 순서가 있는 n짝입니다. 길이가 n인 순서가 있는 n짝은 {a1, a2, ... an}으로 표기되며, 여기서 a1이 첫번째 원소, a2 가 두 번째 원소, an은 n 번째 원소인 순서가 있는 모임입니다. 

 

특히 원소가 두 개인 순서가 있는 2짝(a, b)을 순서쌍이라고 합니다. 

 

-Note (1, 2) != (2, 1)

-if a = c and b = d, (a,b) = (c,d)

 

데카르트 곱

데카르트 곱은 두 집합 사이에서 X * Y 인 것입니다.

-x가 집합 X의 원소이고 y가 집합 y의 원소인 모든 순서쌍 ( x, y )의 집합

- X * Y = {(x,y) | x ) 

 

ex) X = {1,2}, Y= {a,b}

- X * Y = {(1,a),(a,b),(2,a),(2,b)}

- Y * X = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}

 

따라서 위의 예에서 보듯이 데카르트 곱은 교환 법칙이 성립하지 않습니다.