베이즈정리

베이즈 정리 다음과 같은 질문 대답

-특정 질병을 가진 사람에 대해 양성으로 반응한 사람이 실제로 그 질병에 걸렸을 확률은?

-질병에 관해 음성 판정을 받았다면 실제로 그 질병에 걸렸을 확률은?

 

의학, 법, 인공지능, 공학 등 다양한 분야에 기초적 확률을 기반으로 합니다. 

 

패턴인식이란?

항목이 가지는 것에 대해 클래스로 구분을 하는 것입니다. 조건 확률로 계산을 하는 것인데요. 어떤 특성 집합이 구해졌을 때 조건부확률로 구할 수 있는데요.

 

이와같은 패턴인식에서 사용하는 것이 베이즈 정리입니다. 

E와 F가 표본공간 S에서의 사건으로 P(E) != 0이고 P(F) != 0이라고 할 때 다음과 같이 성립합니다.

 

베이즈 정리의 유도는 해당 방식으로 됩니다. 

 

이것은 조건부확률의 정의입니다. 

 

이 조건부확률의 정의로 인해 다음 두가지가 항상 성립을 하는데요. 

거기서 이 식을 약간 변형을 할 것입니다. P(F)를 왼쪽으로 옮기고 p(e)또한 f로 옮길 것인데요. 

이 두 식이 같으니 = 로 만들 수 있습니다. 

이 식에서 변형을 하면 

 

이렇게 유도를 할 수가 있습니다.

 

여기서 이벤트 E의 확률을 다시 살펴보면 

 

 

 

베이즈 정리 예시

첫 번째 상자에는 녹색공 2개와 빨간 공 7개가 들어있습니다. 두 번째 상자에는 4개의 녹색 공과 3개의 빨간 공이 들어있습니다. 임의로 상자를 선택하여 공 하나를 선택할 때 빨간 공을 택한다면 그가 첫 번째 상자에서 공을 선택했을 확률은?

 

E : 밥이 빨간 공을 선택한 사건

F : 밥이 첫 번째 상자로부터 공을 선택하는 사건

 

일반화된 베이즈 정리

F가 표본집합 S에서의 사건이고 C1, C2, ... , Cn은 서로 배타적이고 U i부터 n까 Ci = S입니다. p(F) != 0이고 i = 1, ... , n 일 때 p(ci) !=0 이라고 하자. 그러면 다음이 성립합니다. 

 

즉 베이즈의 정리는 사전 확률과 사후 확률사이의 관계를 나타내는 정리입니다. 사전 확률을 알고 있을 때, 사후 확률의 확률을 수정할 수 있는 것입니다.