[이산수학] 명제 조건명제 진리지표 필요조건 충분조건

명제

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- 참 또는 거짓 중 하나로 파정될 수 있는 선언적 문장

- 논리학의 기본 구성 요소 

 

p와 q가 명제이면 논리연산자를 사용하여 새로운 복합명제를 만들 수 있다. 논리연산자는 명제연산자 혹은 불리언 연산자라고 불리며, 피연산자로서 명제 혹은 진리 값을 취한다.

 

조건명제( conditional proposition )

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-또는 함축

-if p then q, p onlty if q

-in symbols p -> q

- p 가설

- q 결론

조건명제 진리지표

조건명제는 참 많은 분들이 헷갈리는 것인데요. 

구분	P	Q	P -> Q
1	T	T	T
2	T	F	F
3	F	T	T
4	F	F	T

 

2번 빼고 다 true가 나오는 것을 보실 수 있습니다. 

[예시]  만약 고등학생이면 야자를 한다.
p : 고등학생이다.
q : 야자를 한다. 

 

구분	p	q	p -> q	결과
1	고등학생이다	야자를 한다.	고등학생이면 야자를 한다.	T
2	고등학생이다	야자를 하지 않는다.	고등학생이면 야자를 하지 않는다.	F
3	고등학생이 아니다	야자를 한다.	고등학생이 아니면 야자를 한다.	T
4	고등학생이 아니다	야자를 하지 않는다.	고등학생이 아니면 야자를 하지 않는다.	T

1. 고등학생이라면 당연히 야자를 할 것입니다. 따라서 True입니다.

2. 고등학생인데 야자를 하지 않는 사람이 있을까요? p가 True인데 q False이면  p - > q는 false가 됩니다.

3. 고등학생이 아니지만 야자를 한다. 고등학생만 야자를 하라는 법은 없겠죠? 따라서 명제가 true가 됩니다.

4. 고등학생이 아니라면 야자를 하지 않는다. 이것도 문제가 없습니다. 따라서 True가 됩니다. 

 

p가 참일 경우 q가 참이면 결과는 참이다.

p가 거짓일 때 어떠한 q가 오더라도 명제 흐름에는 영향을 주지 않기 때문에 항상 참이다.

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본인이 위 내용에 대해 이해를 하기 위해 생각나는 아무 명제가 넣어보시면 되는 것입니다. 

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필요조건 충분조건

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필요조건 (q)

-어떤 특정한 결과가 이루어지기 위해 필요한 조건

-그 결과가 결과를 보장하는 것은 아니다. 그러나 그 조건이 성립하지 않을 경우 결과는 생기지 않는다.

-결과는 필요조건을 표현한다.

즉 q가 성립하지 않는다면 p가 성립하지 않습니다.

시카고 컵스 팀이 월드 우승을 하기 위해선 필요조건은 우완 구원 투수와 계약하는 것입니다.

q : 우완 구원 투수를 계약하지 않는다면 어떻게 될까요?
p : 시카고 컵스 팀 월드 우승을 할 수 없게 됩니다. 
~q -> ~p 인 것입니다.

p이면 q의 의미는 어떻게 될까요?
: 시카고 월드 우승을 했다면 우완 구원 투수를 계약한 것이다. 이렇게 됩니다. 

q이면 p이다는 성립할까요? (x)
: 시카고 컵스 팀이 우완 구원 투수와 계약한다면, 월드시리즈에서 우승할 것이다(x)

충분조건 (p)

-특정한 결과를 보장하기에 충분한 조건

-이 조건이 성립하지 않더라도 결과는 다른 방식에 의해 이루어질 수 있고 또 이루어지지 않을 수 있다. 하지만 이 조건이 성립하면 결과는 보장된다. 

p : 에펠탑에 갔다면
q : 마리아는 프랑스에 방문한 것이다.
이런 p이면 q를 써보겠습니다.

p -> q
: 마리아가 에펠탑에 갔다면 , 프랑스를 방문한 것이다. (o)

q -> p
: 마리아가 프랑스에 방문하면, 에펠탑에 갔다 (x) 

p이면 q는 성립하지만 q이면 p는 성립하지 않습니다.